دو ادعای دوگان: اولی درباره یادگیری و دومی درباره تدریس (یا به عکس)٭

الف. مقدمه
«شیوه‌های تفکر»^۱ از جمله ابزارهای دانشجویان برای پالایش و تفسیر مطالبی هستند که می‌خواهیم به آن‌ها آموزش دهیم. در این مقاله، تمایز شیوه‌های تفکر را از «شیوه‌های فهمیدن»^۲ نشان می‌دهیم. منظور از یک شیوه فهمیدن، برداشتی (برداشت‌هایی) است که دانشجویان از یک مفهوم مشخص دارند. برای مثال، ممکن است برداشت دانشجویان از «مشتق تابع» به‌صورت شیب خط مماس بر نمودار تابع، بهترین تقریب خطی برای تابع در نزدیکی یک نقطه و ... باشد، اما این برداشت‌ها ممکن است سطحی (مثل «nxn-۱ مشتق xn است») یا حتی نادرست باشند (مثل «مشتق برابر با خارج قسمت (f(x+h)-f(x))/h است»).

بحث را با این مطلب شروع می‌کنم که شیوه‌های تفکر دانشجویان چطور بر شیوه‌های درک آن‌ها از مفاهیم ریاضی تأثیر می‌گذارد. بعد از آن، خواهم گفت که اگرچه کنار گذاشتن یک نوع شیوه تفکر دشوار است، شیوه‌های تفکر تغییرناپذیر نیستند. در واقع چگونگی فهم دانشجو از یک مطلب ریاضی، بر کیفیت شیوه تفکر او تأثیر می‌گذارد.

 

ب. روش‌های نادرست رایج در تفکر
۱. استدلال مبتنی بر نمادها^۳
دانشجویان در درس «جبر خطی» یاد می‌گیرند، همان‌طور که فضای سطری یک ماتریس نسبت به عمل‌های سطری مقدماتی روی ماتریس ناوردا است، مجموعه جواب یک دستگاه معادلات خطی نیز نسبت به عمل‌های سطری مقدماتی روی ماتریس افزوده آن دستگاه، ناوردا است. اما دانشجویانی را مشاهده کرده‌ایم که این مطلب را تعمیم می‌دهند و بر این نتیجه اصرار دارند که فضای ستونی یک ماتریس هم نسبت به عمل‌های سطری مقدماتی روی آن ماتریس، ناوردا است. چرا چنین برداشت غلطی در ذهن این دسته از دانشجویان شکل گرفته است، در حالی‌که این حکم را هرگز از استاد خود نشنیده‌اند و در هیچ کتابی نخوانده‌اند؟ متوجه شدیم که این دانشجویان یک عادت ذهنی [Cuoeo & Gofdberg, ۱۹۹۶: ۳۷۵-۴۰۲] یعنی یک شیوه تفکر دارند: اینکه صرفاً براساس تداعی نتیجه‌گیری می‌کنند و به معنا و درستی نتیجه نمی‌اندیشند. در برخی موارد، این عادت ذهنی نه‌تنها به حکمی نادرست منتهی می‌شود که مثل مورد گفته شده می‌توان آن را با یک مثال نقض رد کرد، بلکه مثل مورد زیر (برگرفته از منبع شماره ۸، به استدلالی نامعقول نیز می‌انجامد: در یک کلاس درس جبر خطی، دانشجویی به نام هیو^۴، در پاسخ به این سؤال که: «چرا دستگاه همگن AX=۰ سازگار است؟» گفته بود:

«فرض کنیم: x۱A۱+x۲A۲+...+xnAn=۰ [Text Box: Aiها ستون‌های A هستند].

می‌خواهیم x_۱ را پیدا کنیم و مقادیر  x_۲، ... ، x_n و A_۱، A_۲ ، ... ، A_n را داریم. با بُردن مقادیر معلوم [احتمالاً منظور xiها و Ai ها است، اگر xiها را متغیرهای آزاد بگیریم] به طرف دیگر معادله، می‌توانیم معادله را [نسبت به] x_۱ حل کنیم. همین کار را می‌توان برای x_n، ... ،x_۲ نیز انجام داد. پس این نشان می‌دهد که دستگاه همگن دارای جواب x_۱=(x۲A۲+x۳A۳+...+xnAn)/A۱ است».

وقتی از هیو پرسیدیم: معنای تقسیم بر A_۱ چیست؟ او [در حالی‌که عبارت کسری را که نوشته بود، نشان می‌داد] پاسخ داد: یعنی این تقسیم بر این؛ درست مثل «یک تقسیم بر X».

من این شیوه تفکر را استدلال مبتنی بر نمادها می‌نامم. کسی که به این شیوه استدلال می‌کند، رفتارش با نمادها طوری است که گویی حیات مستقل دارند و بدون اینکه معنایشان را بداند، با آن‌ها دست‌ورزی می‌کند. در درس جبر خطی این شیوه تفکر، خود را در قالب این بدفهمی نشان می‌دهد که «بردارها مثل عددها رفتار می‌کنند»، زیرا همان‌طور که در جواب هیو دیدیم، دانشجویان با بردارها طوری رفتار می‌کنند که انگار بردارها عدد هستند. این بدفهمی‌ها در برخی از دانشجویان مشهود و در برخی دیگر مثل موردی که در ادامه می‌آید، پنهان است: سم^۵ در پاسخ به این مسئله که: «اگر بردارهای V ،M ،N ،K و R وابسته خطی باشند و M و N را حذف کنیم، آیا V ،K و R وابسته‌اند؟» گفته است:

«اگر M و N را حذف کنیم، بردارهای باقی‌مانده وابسته خطی‌اند، چون عین این است که M و N را در صفر ضرب کرده باشیم؛ مثلاً K=aR+bV+۰M+۰N که: a,b≠۰ .

دلیل این مطلب آن است که وابستگی خطی یک دسته از بردارها به این معنی است که هر عضو دسته، ترکیبی خطی از بقیه عضوهاست».

پشت پرده استدلال سم برای این جواب به ظاهر نامفهوم این است که برای سم (و همین‌طور بعضی از هم‌کلاسی‌هایش) مفهوم «وابستگی»، یک ویژگی مجموعه‌ای نیست، بلکه خاصیتی درباره یک بردار تنهاست. یعنی اینکه از دید او، «یک بردار وابسته است»، اگر ترکیبی خطی از بردارهای دیگر باشد و لذا «یک مجموعه از بردارها وابسته است»، اگر هر بردار در آن مجموعه، ترکیبی خطی از بردارهای دیگر باشد. بنابراین براساس اطلاعات مسئله، سم فرض می‌کند که: K=xR+yV+zM+uN . معنای حذف M و N از دید او این است که در این تساوی به جای M و N صفر قرار دهیم. اما سم با انجام این کار تصور می‌کند که از بین رفتن «کمیت» zM+uN را باید با تغییر ضریب‌های x و y به ضریب‌های جدید a و b جبران کند؛ انگار همه این نمادها نشان‌دهنده عدد هستند. نکته مهم در این دو مورد این است که شیوه تفکر هیو و سم که وجه بارز آن استدلال مبتنی بر نمادها است، حاکم بر فهم آن‌ها از مفاهیم پایه‌ای است.

اکنون من برخلاف این استدلال کوبنده، (برای جلوگیری از ابهام در معنای اصطلاح «استدلال مبتنی بر نمادها») به نوعی متفاوت و مهم از استدلال مبتنی بر نمادها اشاره می‌کنم. شاید تعریفی که پیش از این برای استدلال مبتنی بر نمادها آوردم، در ذهن خواننده تصویری متفاوت با آن چیزی به وجود آورد که از جواب‌های هیو و سم پدید آمد. زیرا بسته به تجربه ریاضی خواننده، این عمل که با نمادها طوری رفتار کنیم که گویی صاحب حیات مستقل‌اند و به همین دلیل، روی آن‌ها بدون (ضرورت در) بررسی معنایشان محاسبه انجام دهیم، عملی متداول است.

از نظر تاریخی، این‌گونه کاربرد استدلال مبتنی بر نمادها نقشی مهم در پیشرفت ریاضیات ایفا کرده است. برای مثال، طی قرن نوزدهم پژوهش‌های زیادی در حساب دیفرانسیل و انتگرال با استفاده از روشی موسوم به «روش عملگری»^۶ انجام شد. در این روش، نتایج با انجام عملیاتی روی نمادها بدون درک معنای آن‌ها و در بسیاری موارد در تعارض با قاعده‌های جا افتاده ریاضی به دست می‌آیند. برای مثال، طریقه به دست آوردن «فرمول مجموع‌یابی اویلر ـ مکلورن» برای تقریب انتگرال‌ها با استفاده از حاصل‌جمع‌ها را در منبع شماره ۶ ببینید. تنها به کمک آنالیز تابعی که در اوایل قرن بیستم پدید آمد، ریاضی‌دانان توانستند بسیاری از فنون روش عملگری را توجیه کنند.

مثال دیگر که معروف‌تر است، تجدید بنای حساب دیفرانسیل و انتگرال در هیبت آنالیز حقیقی در آغاز قرن نوزدهم است که با «راه‌حل مبتنی بر نمادها»ی فوریه برای مسئله شارش‌گرما آغاز شد. فوریه این مسئله را به مسئله بیان یک تابع زوج به‌صورت مجموعی نامتناهی از کسینوس‌ها تبدیل کرد؛ بدون اینکه به معنای مجموع‌یابی نامتناهی تابع‌ها بپردازد. راه‌حل وی به چیزهایی منتهی شد که در آن زمان به نظر می‌رسید با رفتار «عادی» توابع ناسازگار هستند. خود این موضوع به بررسی‌هایی درباره مفروضات حساب دیفرانسیل و انتگرال و بازبینی ساختمان آن منجر شد و به این ترتیب، حساب دیفرانسیل و انتگرال در هیبت یک حوزه جدید در ریاضیات موسوم به «آنالیز ریاضی»، از نو بنا شد.

 

۲. توجیه متکی بر مرجعیت^۷
یکی دیگر از شیوه‌های معمول تفکر که صورت افراطی آن به همان اندازه استدلال مبتنی بر نمادها مضر است، این است که دانشجو احکام ریاضی را صرفاً براساس اینکه در کتاب درسی‌اش آمده یا استادش آن‌ها را گفته است، به‌طور کامل می‌پذیرد. خلاصه اینکه دانشجویان کنجکاوی فکری ندارند تا بپرسند چرا فلان ادعای مطرح شده صادق است. این نوع رفتار که اجمالاً در منبع شماره ۸ بحث شده است، اصلاً عجیب نیست، چرا که در برنامه‌های درسی فعلی رشته ریاضی تأکید بیشتر بر دانستن احکام ریاضی است تا دلایل این احکام.

 

۳. نبود شیوه‌های گوناگون فهمیدن
اینکه یک مفهوم را می‌توان به شیوه‌های گوناگونی فهمید و اصلاً باید آن را به شیوه‌های گوناگونی فهمید و اینکه حین حل یک مسئله تعویض شیوه فهمیدن یک مفهوم سودمند است، همگی شیوه‌هایی از تفکر هستند که غالباً از خزانه استدلالی بیشتر دانشجویان غایب‌اند. اثر این کمبود به‌ویژه در درس جبر خطی آشکار می‌شود که در آن، بیش از هر درس دیگری در سال‌های اول رشته ریاضی، نیاز به شکل‌گیری شیوه‌های گوناگون فهمیدن احساس می‌شود. برای مثال، دانشجو باید بفهمد که مسائل مربوط به دستگاه‌های معادلات خطی با مسائل مربوط به ماتریس‌ها و خود این‌ها هم با مسائل مربوط به تبدیل‌های خطی معادل‌اند. دانشجویی که مجهز به این شیوه‌های تفکر نباشد، با دشواری‌هایی روبه‌رو خواهد شد. مثال ساده اما گویا برای این موضوع، دشواری‌ای است که دانشجویان بعد از یادگیری تعریف استاندارد ضریب ماتریس‌ها، ، در اتخاذ روش‌های دیگر ضرب ماتریس‌ها (مثل، و یا ) مواجه می‌شوند.

 

۴. نبود انگاره‌های کارآمد مفهوم
شیوه درک یک مفهوم، جزئی از انگاره آن مفهوم است. «انگاره مفهوم^۸» عبارت است از یک شبکه ذهنی مرکب از چیزهایی که شخص درباره آن مفهوم می‌داند (از قبیل شباهت آن مفهوم به مفاهیم دیگر، مثال‌ها و مثال‌های نقض درباره آن و ...). اصطلاح «انگاره مفهوم» (بنابر مفاد منبع شماره ۱۱) جدا از «تعریف مفهوم»^۹ است. «تعریف مفهوم»، یک عبارت کلامی است که در کتاب درسی می‌آید یا استاد بیان می‌کند و آن مفهوم را با دقت و به نحو غیردوری توصیف می‌کند.

ثابت شده است که انگاره‌های مفاهیم یا به قول دانشمندان علوم‌شناختی، «ساختارهای بسط یافته» اثرات عمیقی بر قدرت حافظه و درک ما دارند [Anderson, ۱۹۸۰]. دانشجویی یک انگاره مفهوم کارامد دارد که بتواند تعریف مفهوم را به زبان خودش بیان کند، درباره آن مفهوم کلی‌نگرانه بیندیشد، آن را به مفاهیم دیگر پیوند دهد و در نتیجه بتواند معنای آن را مدتی طولانی‌تر در خاطر نگه دارد [Harep, ۱۹۹۷].

دانشجویان درس جبر خطی چه نوع انگاره‌های مفهومی می‌سازند؟ جدول‌های ۱ و ۲ نتایج بررسی ۲۵ دانشجو را یک تا سه و نیم سال، بعد از آنکه  یک درس معادلات دیفرانسیل ـ‌ جبر خطی و به دنبال آن یک درس جبر خطی را به اتمام رساندند، با اندکی اصلاحات نشان می‌دهد. میانگین نمره آن‌ها در این درس‌ها، با مقیاس نمره A=۴، C=۲ ، B=۳ و D=۱ به ترتیب ۳/۰۵ و ۲/۹۱ بود.

از نتایج این بررسی‌ها چنین برمی‌آید که دانشجویان انگاره‌های کارامدی برای مفاهیم نمی‌سازند، بلکه تکیه‌شان به‌طور کامل بر تعریف‌های مفاهیم و آن هم از طریق حفظ کردن کلمه به کلمه آن‌هاست. دانشجویان از عهده در خاطر نگه داشتن تعریف‌های مفاهیم تا پایان امتحان پایان ترم برمی‌آیند، اما نمی‌توانند آن‌ها را برای مدت طولانی‌تری در خاطر نگه دارند. وقتی دانشجو تعریف‌های مفاهیم را فراموش کرد، دیگر قادر نیست آن‌ها را پیش خود بازیابی کند یا از نو بسازد.

مشاهداتی که در این بخش درباره آن‌ها بحث شد، با این دیدگاه ثابت شده سازگار است که دانش پس‌زمینه‌ای دانشجو، یعنی مجموعه همه آن چیزهایی که دانشجو می‌داند، مهم‌ترین عامل مؤثر در یادگیری است [Alexander & Judy, ۱۹۸۸: ۳۷۵-۴۰۱]. این نکته کلی «در علوم شناختی تقریباً شأن یک اصل موضوع را دارد» [Kouba, carpenter & Swafford, ۱۹۸۹]. متأسفانه معمولاً تعبیری تنگ‌نظرانه از این اصل می‌شود؛ به این مضمون که دانش دانشجو از یک مفهوم بر یادگیری مفهوم دیگری که منطقاً وابسته آن است، تأثیر می‌گذارد.

لیکن ما در جایگاه معلم، می‌دانیم که این اصل حتی وقتی مفاهیم منطقاً مستقل از هم باشند نیز کاربرد دارد. مثلاً انتظار داریم دانش دانشجویان درباره فضاهای متری بر یادگیری آن‌ها در توپولوژی مؤثر باشد؛ با وجود اینکه این دو منطقاً مستقل از هم هستند. دلیل این انتظار ما این است که دریافته‌ایم، دانشجویان برای یادگیری یک ایده ریاضی به چیزی بیش از شناخت عینی نیاز دارند. من در این بخش سعی کردم نشان دهم که دانشجویان به‌ویژه نیازمند شیوه‌های تفکر مناسب هستند. بنابراین تأثیری که از وجود شیوه‌های نادرست تفکر و فقدان شیوه‌های اساسی تفکر بر درک مفهومی دانشجویان مشاهده کردیم، به اصل موضوع مذکور معنایی می‌دهد که به لحاظ آموزشی اهمیت دارد؛ اینکه: «شیوه تفکر بر شیوه فهمیدن تأثیر می‌گذارد». این معنی منشأ این ادعا است که «دانش هر دانشجویی توسط خودش ساخته می‌شود»؛ جمله‌ای که اغلب ما می‌دانیم ولی به ندرت به ارزش آن توجه می‌کنیم.

 

ج. اصل ضرورت، سازمان‌دهنده تدریس
دانشجویان درس‌های ریاضی، به لحاظ انگیزه‌های فکری احساس می‌کنند هدف ندارند، زیرا معمولاً هدف‌ها و انگیزه‌های فکری روشنی را در تدریس پیش روی آن‌ها قرار نمی‌دهیم. در این بخش می‌خواهیم یک اصل آموزشی را معرفی کنیم که «اصل ضرورت»^۱۰ خوانده می‌شود. بر پایه این اصل، دانشجو می‌آموزد که مفاهیم ریاضی به دلخواه معرفی نمی‌شوند، بلکه در پس تعریف هر مفهومی دلایلی وجود دارد و او می‌تواند آن دلایل را بفهمد و درک کند و در نتیجه خود را در توسعه دانش شریک بداند (یا دست‌کم بپندارد که گویا شریک بوده است). وقتی اصل ضرورت را به‌طور موضعی در تدریس چند مفهوم خاص و به‌طور سراسری در تدرس یک درس کامل به‌کار بردیم و آن را با نوعی روش تدریس که ملغمه‌ای از کار در «گروه‌های کوچک»^۱۱، «پروژه‌های جمعی»^۱۲، «بحث کلاسی»^۱۳ و «آموزش فرد به فرد»^۱۴، به‌کارگیری فناوری، و سخنرانی بود، ترکیب کردیم، سازگاری و نتایج مثبت آن آشکار شد: دانشجویان فهم مناسبی از مطالب تدریس شده به دست آوردند، شیوه‌های نادرست تفکر را کنار گذاشتند و به شیوه‌های درست اندیشیدن روی آوردند. بنابراین می‌گویم سوی دیگر ادعای بخش قبل، یعنی اینکه شیوه فهمیدن بر شیوه تفکر تأثیر می‌گذارد، به اندازه همان ادعا اعتبار دارد.

پیش از بیان اصل ضرورت، مثال زیر را در نظر می‌گیریم. در یکی از کتاب‌های درسی رایج و بسیار پرکاربرد درباره جبر خطی مقدماتی، مفهوم «استقلال» این‌طور معرفی شده است:

«تا اینجا یک دستگاه ریاضی را به نام فضای برداری حقیقی تعریف و ویژگی‌های آن را بیان کرده‌ایم. [در ادامه] نشان می‌دهیم که در هر فضای برداری V که در این کتاب مطالعه می‌شود، مجموعه‌ای متناهی از بردارها وجود دارد که V را به‌طور کامل توصیف می‌کند. البته باید توجه کنید که در حالت کلی، از این‌گونه مجموعه‌ها بیش از یکی وجود دارد. اکنون می‌پردازیم به صورت‌بندی این ایده‌ها».

پس از این مقدمات، «پیمای خطی» و «وابستگی» تعریف و با چند مثال روشنگر همراه می‌شود. ارائه مطلب در این کتاب، در کل روشن و دقیق به نظر می‌رسد. با وجود این، تأثیرگذاری آن مورد تردید است. به‌ویژه باید پرسید که آیا با این شیوه ارائه درس، می‌توان این باور را در یک دانشجوی عادی کلاس جبر خطی مقدماتی پروراند که برای حل مسائل به دانستن مفهوم «استقلال» نیاز دارد؟ درست است! نویسنده کتاب با همین بیان ساده، روشن کرده است که چه مسئله‌ای قرار است حل شود: می‌خواهد ثابت کند که در هر فضای برداری، مجموعه‌ای متناهی از بردارها وجود دارد که فضا را به‌طور کامل توصیف می‌کند. اما آیا دانشجو به این موضوع به چشم یک مسئله می‌نگرد؟ آیا در این مرحله از درس می‌تواند اهمیت این مسئله را درک کند؟ آیا می‌تواند بفهمد که مفهوم «استقلال» چقدر در حل این مسئله دخیل است؟ به دیگر سخن، «نیاز فکری»^۱۵ ـ نه نیاز اجتماعی یا اقتصادی ـ دانشجو در یادگیری مفهوم «استقلال» چیست؟ روشی که [مؤلف] این کتاب برای ارائه مطلب برگزیده است. چنین نیازی را در دانشجویان برنمی‌انگیزد.

«نیاز فکری» بیانی از یک رفتار طبیعی بشری است: وقتی به وضعیتی برمی‌خوریم که با ذخایر دانشی ما سازگاری ندارد یا با مسئله‌ای مواجه می‌شویم که نمی‌توانیم به کمک آن‌ها حلش کنیم، می‌کوشیم آن را تجزیه و تحلیل کنیم و در نتیجه بر ذخایر دانشی‌مان بیفزاییم. دانشی که این‌طور به دست می‌آید، معنادار است، زیرا محصول نیاز فردی است و با تجربیات پیشین انسان پیوند دارد. این پدیده بشری مبنای آن چیزی است که من اصل ضرورت می‌نامم.

اصل ضرورت: دانشجو زمانی به بهترین شکل ممکن یاد می‌گیرد که متوجه شود، به یادگیری آنچه به او تدریس می‌شود، نیاز دارد و منظور از «نیاز» در اینجا نیاز فکری است نه نیاز اجتماعی یا اقتصادی.

اگر بخواهیم به بیان ملموس آموزشی سخن بگوییم، اصل ضرورت در سه مرحله اجرایی می‌شود:

• نیازهای فکری مجموعه‌ای خاص از دانشجویان را نسبت به مفهومی که قرار است یاد بگیرند، بشناسید؛

• مطابق با آن نیازهای فکری، مسائلی پیش‌روی دانشجویان قرار دهید که با حل آن‌ها بتوانند مفهوم موردنظر را استنباط کنند؛

• به دانشجویان کمک کنید تا آن مفهوم را از دل حل مسائل بیرون آورند.

استفاده از شهود هندسی و بیان کاربردها در شاخه‌های علمی دیگر را نباید با اصل ضرورت اشتباه گرفت. اولی ابزاری عالی برای کمک به دانشجویان است تا آنچه را که قبلاً آموخته‌اند، تحکیم بخشند، ولی دومی هدفش آماده‌سازی بستر برای درک مفاهیمی است که قرار است به دانشجویان بیاموزیم. نمونه‌های زیر، ایده کلی (نه یک طرح آموزشی کامل) حاکم بر سه مرحله قبل را روشن می‌سازند.

یکی از روش‌های معرفی سه مفهوم اصلی «ترکیب خطی»، «وابستگی» و «استقلال» براساس اصل ضرورت، به‌کارگیری یکی از ریشه‌های تاریخی جبرخطی، یعنی دستگاه‌های معادلات خطی است. دانشجویانی که نخستین بار درس جبرخطی را اخذ می‌کنند، با دستگاه معادلات آشنایی دارند و اهمیت آن را مثلاً‌ در حل مسائل دنیای واقعی می‌دانند. تجربه ما حاکی است که می‌توان توجه‌شان را به این نکته جلب کرد که در برخی موارد نمی‌توانیم یا نمی‌خواهیم دستگاه معادلات AX=b را حل کنیم. با وجود این، نیاز است بدانیم که آیا جواب وجود دارد یا نه و آیا جواب [در صورت وجود] یکتا است یا نه. این مسائل وجود و یکتایی را در همان اوایل درس که جهت‌گیری کلی آن استفاده از ماتریس‌ها است (پیش از اشاره به هیچ‌یک از مفاهیم بالا)، مطرح می‌کنیم تا توجه دانشجویان به یک هدف معین جلب شود. چون قویاً‌ تأکید داریم که ضرب ماتریسی با رابطه

MN^(K) = ∑j (N^(k))jM^(j)
تعریف شود، چندان غیرعادی نیست که تعداد کمی از دانشجویان به مسئله وجود پاسخ درست بدهند. پاسخ درست این است که اگر b را بتوان با عباراتی مانند b=x_۱A^(۱)+x_۲A^(۲)+......+x_nA⁽ⁿ⁾

بیان کرد، آن‌گاه معادله AX=b جواب دارد. البته به ندرت پیش می‌آید که دانشجویان پاسخی چنین روشن بدهند. با این حال، استاد درس می‌تواند کمک کند تا همه دانشجویان کلاس بفهمند که چرا رابطه بیان شده بین b و ستون‌های A شایسته توجه است و نامی برای خودش دارد: «ترکیب خطی». وقتی فهمیدند، براساس آن می‌توانیم کمکشان کنیم مفاهیم «وابستگی» و «استقلال» را از حل مسئله یکتایی استنباط کنند.

تجربه به ما آموخته است که برای پرهیز از پیچیدگی‌های غیرضروری، بهتر است نخست مسئله یکتایی جواب دستگاه همگن AX=۰ را مطرح کنیم. پس از آن، دانشجویان آماده خواهند بود تا بفهمند رابطه «یکی از ستون‌های A ترکیب خطی ستون‌های دیگر است» و نقیض آن، مسئله یکتایی را حل می‌کنند. بعد از به‌دست آمدن این نتیجه، مفاهیم جدیدی متولد می‌شوند و نام‌هایی به آن‌ها منسوب می‌شود: «وابستگی خطی»، «استقلال‌ خطی» و غیره.

به روش مشابه می‌توانیم «دترمینان» را به مثابه ابزاری برای حل معادله‌های مشخصه معرفی کنیم، مفهوم «افکنش متعامد» را از نیاز به یافتن جواب تقریبی (یعنی جواب به روش کمترین مربعات) یک دستگاه ناسازگار استنباط کنیم، و اثبات «قضیه ژُردان» را از آغاز تا پایان، در بستر حل دستگاه‌های معادلات دیفرانسیل خطی ارائه کنیم؛ نیازی که دانشجویان به خوبی با آن آشنا هستند.

 

۱. مؤلفه‌های نیاز فکری
مدرس چگونه باید متوجه شود که مؤلفه‌های نیاز فکری برای یک مجموعه خاص از دانشجویان چیست؟ پاسخ این است که مدرس باید با شیوه‌های تفکر دانشجویانش آشنا شود. حال که این را گفتم، می‌خواهم سه شکل از نیاز فکری را مشخص کنم: نیاز به محاسبه، نیاز به صوری‌سازی و نیاز به هوشمندی. پرداختن به ریشه‌های روان‌شناختی این نیازها در حوصله این مقاله نمی‌گنجد. در ادامه بیشتر بر نیاز اول تمرکز می‌کنم، دومی را خیلی کوتاه شرح می‌دهم، و به سومی هم که به زیبایی، کارآمدی و تجربه در ریاضیات مربوط می‌شود، اشاره‌ای گذرا می‌کنم.

نیاز به محاسبه^۱۶
مثال‌های قبل که مربوط می‌شدند به چگونگی معرفی یک مفهوم جدید براساس اصل ضرورت، متضمن یافتن مقدارهای عددی (دقیق یا تقریبی) برای مجهول‌ها یا تعیین شرایط وجود و یکتایی جواب دستگاه‌های خطی بودند. من آن نوع نیاز فکری را که به این قبیل مسائل در دانشجویان برمی‌انگیزد، نیاز به محاسبه می‌نامم. به سخن کلی، نیاز به محاسبه در مورد مسائلی صدق می‌کند که متضمن محاسبه با اشیایی ملموس برای دانشجو یا متضمن تعیین ویژگی‌های چنین اشیایی هستند. این نیاز از جنبه انگیزه‌بخشی بسیار نیرومند است، زیرا دانشجو را به‌شدت با مسائل درگیر می‌کند و سبب می‌شود دانشجو مفاهیمی را که از حل آن مسائل استنباط می‌شوند، بفهمد و درک کند. جبرخطی موضوع بسیار مناسبی برای پرداختن به این نیاز است و در تدریس آزمایشی جبرخطی تلاش کردیم، نه تنها مفاهیم خاص را استنباط کنیم، بلکه سطح مهارت‌های استدلالی دانشجویان را نیز افزایش دهیم. نمونه‌هایی از این کوشش را در مثال‌های زیر ارائه می‌کنیم.

• تصویرسازی فضایی^۱۷: به دانشجویان چیزی درباره تصویرسازی فضایی آموزش داده نمی‌شود و آن‌ها حتی از دانش اولیه در هندسه تحلیلی دو و سه‌بُعدی بی‌بهره‌اند. هدف ما این بود که با ارائه شواهدی از توان تصویرسازی فضایی در تحلیل و حدس زدن ادعاهای ریاضی، این مهارت را در دانشجویان ایجاد کنیم و افزایش دهیم. برای نیل به این هدف، مسائلی که به دانشجویان دادیم در حوزه نیاز محاسباتی بود:

مسئله ۱.
الف. بردارهای u=[u_۱ u_۲ u_۳]t و v=[v_۱ v_۲ v_۳]t
جواب‌های دستگاه معادلات خطی
۲X + ۳Y + ۶Z = ۰
۴X + ۷Y + ۹Z = ۰- 
هستند. u و v مستقل‌اند یا وابسته؟ برای پاسخ خود دلیل هندسی بیاورید.

ب. بردارهای u=[۱۲۰]^t و جواب‌های دستگاه معادلات خطی

a_۱X + b_۱Y + c_۱Z = ۰
a_۲X + b_۲Y + c_۲Z = ۰
هستند. u و v مستقل‌اند یا وابسته؟ برای پاسخ خود دلیل هندسی بیاورید.

 

مسئله۲.
لورا و تونی^۱۸ ماتریس افکنش از فضای Rⁿ به روی زیرفضای V را با استفاده از دستور P=W(W^tW)^-۱W^t (که در آن، W ماتریسی است که ستون‌هایش پایه‌ای برای V تشکیل می‌دهند) محاسبه کردند. لورا ماتریس W_۱ را به جای W قرار داد و تونی ماتریس W_۲ را.

الف. آیا انتظار دارید ماتریس‌های افکنشی که لورا و تونی به‌دست آوردند، با هم برابر باشند؟

ب. یک زیرفضای چهاربُعدی از R۶ انتخاب کنید و با استفاده از برنامه «MATLAB» ماتریس P را به ازای پنج پایه گوناگون برای V حساب کنید.

پ. از شهود هندسی‌تان کمک بگیرید تا پاسخ قسمت‌های (الف) و (ب) را تحلیل کنید و حدسی کلی بزنید.

ت. حدس خود را به روش جبری ثابت کنید.

 

• اقامه برهان^۱۹: از دیدگاه آموزشی، نمونه مسائل زیر به همان اندازه سودمند هستند که مسائل ساختنی در هندسه اقلیدسی. با حل این‌گونه مسائل، دانشجویان فرصت می‌یابند تعریف‌ها و قضیه‌هایی را که پیش‌تر یاد گرفته‌اند به کار گیرند و در نتیجه مهارت‌های اثباتی آن‌ها افزایش می‌یابد.

مسئله ۱.

بردارهای ورودی
a=[۰, ۱۲۰]^t , b={۴۱-۲۶}^t
c=[۳۱۰۱]^t , d=[۰۱-۲۰]^t
را به یک تبدیل ماتریسی A داده‌ایم و بردارهای خروجی
  α=[-۱۱۲۱]^t , β=[۱۵-۲۶]^t
γ=[۱۱۲۳]^t , δ=[۱-۲-۱۳]^t
به دست‌ آمده‌اند. ماتریس A را بسازید. آیا تنها یک تبدیل ماتریسی از این نوع وجود دارد؟ در داده‌های اصلی، فقط یکی از بردارهای ورودی و فقط یکی از بردارهای خروجی را طوری تغییر دهید که بیش از یک تبدیل ماتریسی بتوان ساخت. در داده‌های اصلی، فقط یکی از بردارهای ورودی و فقط یکی از بردارهای خروجی را طوری تغییر دهید که ساختن چنین تبدیل ماتریسی ناممکن باشد.

 

مسئله ۲.

فرض کنید D ،C ،B ،A و E بردارهایی در R۶ باشند، به‌طوری که B ،A و C مستقل‌اند و:
D=-۴A+۳B , E+۱۲B-۱۳C
فرض کنید W=[A B C D E] و R.R=rref(W) را پیدا کنید.
معلوم شد که این مسائل ساختنی (که در مقوله نیاز به محاسبه جای می‌گیرند)، سوای ارزشی که در افزایش توان درک مفاهیم خاص (مثلاً «خطی بودن» در مسئله اول) در دانشجویان دارند، در پرورش توانمندی اقامه برهان در آن‌ها نیز کارآمد هستند. زیرا هر عملی که دانشجو می‌خواهد طی فرایند ساختن یک شیء انجام دهد، باید به پشتوانه یک استدلال باشد. نیاز به استدلال جزء پیش‌فرض‌هاست، زیرا لازم است دانشجو اطمینان یابد که در تولید خروجی‌های مورد انتظار، موفق عمل کرده است. نیاز به استدلال در ذات تکلیفی که به آن‌ها واگذار شده، نهفته است.

 

نیاز به صوری‌سازی^۲۰
دانشجو ممکن است از توضیح شهودی که برای حد  در ذهن دارد، راضی باشد. این توضیح شهودی معمولاً چیزی شبیه به این است: «، زیرا هرچه n بزرگ‌تر می‌شود، کسر  به صفر نزدیک‌تر می‌شود.» مدرسی که می‌خواهد زمینه را برای تعریف حد به روش N- آماده کند، می‌تواند این توضیح شهودی را روی تخته بنویسد و همراه با آن، نمودار دو تابع  و g(n)=-۱ را نیز رسم کند. سپس به دانشجویان گوشزد کند که براساس این توجیه، ، زیرا به گفته آن‌ها «هرچه n بزرگ‌تر می‌شود، کسر  به ۱- نزدیک‌تر می‌شود.» تجربه ما نشان می‌دهد که این تغییر، به نوعی رویارویی با دانسته‌های دانشجویان منجر می‌شود و در نتیجه آن‌ها متوجه می‌شوند که باید در آموخته‌هایشان درباره مفهوم حد بازنگری کنند.

این مثالی از نیاز به صوری‌سازی بود که به جرئت می‌گویم به توانمندی و تأثیرگذاری نیاز بر محاسبه نیست، زیرا لازمه‌اش پختگی کافی در ریاضیات است و دانشجوی مبتدی از این پختگی بهره ندارد. نشان به آن نشان که دانشجویان توجه نمی‌کنند که باید مثلاً با استفاده از تعبیرهای قوی بصری یا پویا، همانند آن‌هایی که در بیان قضیه مقدار میانی و «قضیه مقدار فرین»۲۱ به کار می‌رود، برای صدق احکام ریاضی اقامه برهان کنند. با وجود اینکه نشان دادن توانمندی‌ این قضیه‌ها در کاربردها، کار چندان سختی نیست، همیشه نمی‌توان به آسانی به دانشجویان باوراند که این قضیه‌ها باید ثابت شوند.

برای رفع این مشکل، راهی تجربی در پیش گرفتیم و علاوه بر نشان دادن صدق این ادعاها که برای دانشجویان آن‌قدرها هم ضرورت نداشت، یک هدف دیگر را هم برای اثبات این قضیه‌ها برگزیدیم و آن، صورت‌بندی برخی از مفاهیم شهودی مانند «حد»، «پیوستگی» و «نبودن شکاف در خط حقیقی» بود. بنابراین اگر کلاس بتواند مثلاً قضیه مقدار میانی را که همگی بر صدق آن باور داریم، «تنها» با استفاده از روش δ-یی تعریف حد، تعریف صوری پیوستگی و اصل کمال ثابت کند، آن‌وقت می‌توانیم به یقین بگوییم که در صوری‌سازی مفاهیم شهودی که در بالا ذکر شد، موفق بوده‌ایم.

خلاصه اینکه بر مبنای تجربیات شخصی‌ام حدس می‌زنم نیاز به محاسبه در دانشجویان مبتدی خیلی شدیدتر و عمیق‌تر است. نیاز به صوری‌سازی، به لحاظ پیچیدگی، خیلی ظریف‌تر است و نیاز به هوشمندی از آن هم ظریف‌تر. زیرا برای ایجاد دو توانمندی صوری‌سازی و هوشمندی لازم است دانشجو به سطح بالایی از پختگی در ریاضیات برسد. بر این اساس، نیازهای فکری دانشجویان باید به تدریج ظریف و ظریف‌تر شود و ترتیب پیشرفت نیز از نیاز به محاسبه به سوی نیاز به صوری‌سازی و آن‌گاه به سوی نیاز به هوشمندی باشد.

 

۲. چند مشاهده
این بخش را با بیان برخی مشاهدات از اثربخشی روش تدریسی که شرح دادم، به پایان می‌برم.

دو برنامه متوالی تدریس جبر خطی را به هواخواهی از اصل ضرورت اجرا کردیم (که از این پس آن‌ها را LAa و LAb می‌نامیم). در هر دو برنامه، مدرس یک نفر بود و دانشجویان دو کلاس نیز از دو مجموعه مشابه انتخاب شده بودند. میزان موفقیتمان در مشاهده پیامدهای اصل ضرورت در LAa کمتر از LAb بود. برای مثال، ایده معرفی «استقلال» به‌عنوان مفهوم مورد نیاز برای پاسخ‌گویی به مسئله یکتایی، در برنامه LAb به کار گرفته شد، ولی در LAa این کار به همان شیوه متداول صورت گرفت. با بررسی دستاوردهای دانشجویان در این دو برنامه، تفاوت‌های معناداری به سود LAb مشاهده کردیم. به‌ویژه بدفهمی‌ها در LAb کمتر از LAa بود. برای مثال، بدفهمی «نقض طبیعی» (یعنی هم‌ارز دانستن «استقلال خطی یک مجموعه از بردارها» با اینکه یکی از بردارهای آن مجموعه را نتوان به‌صورت ترکیب خطی بقیه بردارها نوشت) به‌ندرت در LAb رخ می‌داد، ولی در LAa فراوان بود. این تحقیق بر ما معلوم کرد که اگر دانشجویان مقصود روشنی از یادگیری یک مفهوم داشته باشند، کم پیش می‌آید که در درک معنای آن دچار بدفهمی شوند.

در برنامه LAa از «سنت متداول» تبعیت و درس را با تعریف فضای برداری آغاز کردیم. سپس مطابق رسم، اصول موضوع فضای برداری را از ویژگی‌های ساختارهای گوناگون از جمله Rn «انتزاع» کردیم. دریافتیم که این رهیافت به درد دانشجوی مبتدی نمی‌خورد، زیرا او هنوز هیچ گواهی بر سودمندی روش اصل موضوعی در دست ندارد. به‌ویژه دریافتیم که اصلاً هیچ تجریدی از ساختارهای خاص در ذهن چنین دانشجویی شکل نمی‌گیرد و همچنان به اندیشیدن در چارچوب Rn ادامه می‌دهد؛ زیرا تنها اشیای ریاضی که بردار می‌داند، نقاط همین فضا هستند. در نتیجه این قبیل دانشجویان، اصول موضوع فضای برداری را همان ویژگی‌های جمع‌ برداری و ضرب در عدد در فضای Rn می‌دانند و چون به این ویژگی‌ها به دید واقعیت‌هایی بدیهی می‌نگرند که شایسته توجه مخصوص نیستند، نمی‌توانند معنای اصول موضوع فضای برداری و ویژگی‌های اساسی مشتق از آن اصول را درک کنند.

برای مثال، وقتی از آن‌ها پرسیدیم که معنای گزاره «برای هر A در فضای برداری V داریم:
 (-۱)A=-A» چیست، فقط تعداد اندکی از دانشجویان حاضر در برنامه LAa پاسخ درست دادند. خیلی از آن‌ها این گزاره را «هیاهو برای هیچ» می‌دانستند و حتی یکی از دانشجویان گفت: «خوب معلوم است که «منهای یک» ضرب در A می‌شود منهای A؛ چی را باید ثابت کنیم؟» این مشاهده مؤید این مطلب است که اگر دانشجویان مقصود روشنی از یادگیری یک مفهوم نداشته باشند، حتی اگر آن مفهوم را به روشنی برایشان شرح دهیم، احتمالاً در درک معنای آن دچار بدفهمی می‌شوند.

یکی از بهترین نتایج برنامه تدریس ما این بود که دانشجویان هم‌زمان با پرورش توانمندی به‌کارگیری دیگر روش‌های اثبات ریاضی در خودشان، به تدریج روش‌های استدلال مبتنی بر نمادها، توجیه متکی بر مرجعیت و جست‌وجوی مشابهت‌ها را کنار می‌گذاشتند [Harel & Sowder, in press]. این تغییر به واسطه آشنایی آن‌ها با ابزارهای مفهومی لازم برای تحلیل وضعیت‌ها و حل مسائل بود. مثلاً‌ در برنامه تدریس جبر خطی، روش تقلیل سطری ماتریسی یکی از این‌گونه ابزارهای مفهومی بود. به دانشجویان مسائلی دادیم که به ساختار شکل پلکانی سطری تقلیل یافته بودند و معنا و نتایج روش تقلیل سطری ماتریسی در مورد وجود و یکتایی جواب‌ها، به استقلال و پیمای خطی مربوط می‌شدند. اجازه دادیم هر دانشجو شیوه خودش را برای حل مسائل برگزیند و برای ادعاهایش پی‌درپی دلیل بیاورد. فقط در پایان هر جلسه درس، ‌مدرس قضیه‌های کلیدی مربوط به آن مسائل را جمع‌بندی می‌‌کرد و ساختار منسجمی را برای آنچه دانشجویان آموخته بودند، فراهم می‌آورد. ضمناً برای اینکه تصور دانشجویان را از این قضیه‌ها استحکام بخشیم، در پایان جلسه چند مسئله مروری ارائه می‌کردیم که دانشجویان می‌باید قضیه‌های تازه آموخته را در آن‌ها به‌کار می‌بردند. باور من این است که این تلاش ما برآمدهای سودمندی داشت. زیرا روش تقلیل سطری ماتریسی، یک ابزار محاسبانی ساده است که دانشجویان می‌توانستند آن را بفهمند. مهم‌تر اینکه چون پی‌درپی، توان این روش را درحل مسائل مشاهده می‌کردند، موفق شدند آن را بسان یک رهیافت حل مسئله، درونی کنند. از این‌رو این روش برای آن‌ها به روشی حاکم در تفکر درباره مسائل جبرخطی تبدیل شد. مهم‌تر اینکه آن را جانشین روش‌های نادرستی کردند که پیش از این برای توجیه ادعاها به‌کار می‌گرفتند.

 

یادداشت پایانی
یکی از باورهای کاملاً مستند در علوم‌ شناختی این است که وقتی یک شیوه تفکر به عادت تبدیل می‌شود، قوام می‌یابد و کنار گذاشتن آن کار بسیار سختی می‌شود. بنابراین بذر شیوه‌های درست تفکر را باید در همان دوران آموزش ابتدایی و متوسطه در زمین تجربه ریاضی دانش‌آموزان کاشت. شیوه آموزش ریاضی به دانش‌آموزان در این دوران است که می‌تواند به شکل‌گیری شیوه‌های نامطلوب (پانگرفتن شیوه‌های مطلوب) تفکر بینجامد. در مدرسه ابتدایی، دانش‌آموزان جمع و تفریق عددهای چندرقمی را می‌آموزند، اما مفهوم ارزش مکانی را درک نمی‌کنند [Burton, ۱۹۸۲:۱۵۵-۱۹۲] و عمل‌هایی که روی کسرها انجام می‌دهند هم برایشان بی‌معناست [Kouba, Earpenter & Swafford, ۱۹۸۹]. استفاده از استدلال مبتنی بر نمادها در دوره‌ متوسطه نیز ادامه می‌یابد و در نتیجه دانش‌‌آموزان از یادگیری مطالب زیربنایی مانند معنای حل معادله باز می‌مانند [Wagner, ۱۹۸۱:۱۰۷-۱۱۸].

با وجود این، تجربه ما نشان می‌دهد که اگر تلاش کنیم، می‌توانیم شیوه‌های تفکر را عوض کنیم. راهنمای روش تدریس ما، اصل ضرورت بود. دریافتیم که برای اجرای موفقیت‌آمیز این اصل، باید خواسته‌های بزرگ اما واقعی از دانشجویان داشته باشیم و باید آن‌ها را مهیا کنیم مسئولیت یادگیری‌شان را بپذیرند. چنانکه در منبع شماره ۷ نیز گفته شده است، روش تدریسی که کاملاً با رهیافت اصل ضرورت هماهنگی دارد، ترکیبی از کار در گروه‌های کوچک، پروژه‌های جمعی، بحث کلاسی، یادگیری فردبه‌فرد، به کارگیری فناوری و سخنرانی (بله! سخنرانی) است. البته باید میان این مؤلفه‌های گوناگون تعادل هم برقرار باشد؛ تعادلی که برنامه‌ریزی آن بر عهده خود معلم است. توصیه من ارائه تدریسی است که تلفیقی از این مؤلفه‌ها باشد، نه فقط تمرکز بر یکی از آن‌ها؛ مثلاً فقط روش سخنرانی یا فقط روش یادگیری مشارکتی.

غالباً می‌شنویم که: «دانش‌آموز نباید دریافت‌کننده منفعل دانش موجود باشد، بلکه باید در ساختن دانش مشارکت فعال داشته باشد.» اما اصل ضرورت است که به این سخن بار معنایی سنگینی می‌بخشد، والا سخنی بدیهی است. این اصل به معنای واقعی کلمه می‌گوید که چطور می‌توان دانش‌آموزان را به یادگیرنده‌های فعال تبدیل کرد، یا به زبان استعاره، چطور می‌توان تعریف‌ها و قضیه‌ها را از مالکیت کتاب و معلم خارج کرد و به مالکیت دانش‌آموز درآورد.

اصل ضرورت ریشه در «نظریه یادگیری پیاژه» دارد و با نظریه کنونی «اصالت مسئله»^۲۲ که آموزشگران ریاضی فرانسوی ارائه کرده‌اند، سازگاری دارد [Balachef, ۱۹۹۰:۱۹۲-۲۵۸]. بر پایه این نظریه:
«... یادگیری شاگردان به این بستگی دارد که مسائل را طوری بشناسند و بازسازی کنند که آن‌ها را از آنِ خود بدانند. مسئله فقط زمانی برای دانش‌آموز مسئله است که مسئولیت درستی راه‌حل آن را بپذیرد. این انتقال مسئولیت درستی راه‌حل از معلم به دانش‌آموز باید رخ دهد تا آن مسئله برای دانش‌آموز معنادار شود [همان: ۲۵۹].»



پی‌نوشت‌ها
* این مقاله ترجمه مقاله زیر است:

Harel, Guershon, Two dual assertions: The first on learning and the second on teaching (or vice versa), Amer. Math. Monthly, 105 (1998), 497-507.
1. ways of thinking
2. ways of understanding
3. symbolic reasoning
4. Hugh
5. Sam
6. operational method
7. justification by virtue of authority
8. concept image
9. concept definition
10. necessity principle
11. small group discussion
12. team projects
13. whole-class discussion
14. indivdual learning
15. intellectual
16. need for computation
17. spatial visualization
18. Lora and Tony
19. proof production
20. need for formalization
21. extreme value theorem
22. problématique

منابع

 1. Alexander, P. A., Judy, J., The interaction of domain-specific and strategic knowledge in academic performance, Reviews of Educational Research, 58 (1988), 375-401.
2. Balachef, N., Towards a problématique for research on mathematics teaching, Research in Mathematics Education, 21 (1990), 258-272.
3. Anderson, R., Cognitive Psychology and Its Applications, Freeman, New York, 1980.
4. Burton, R., Diagnostic models for procedural bugs in basic mathematical skills, Cognitive Science, 2 (1982),155-192.
5. Cuoco, A., Goldberg, P., Mark., J., Habits of mind: An organizing principle for mathematics curricula, Journal of Mathematical Behaviour, 15 (1996), 375-402.
6. Friedman, B., Lectures on Application-Oriented Mathematics, John-Wiley & Sons, New York,1991.
7. Harel, G., The linear algebra curriculum study group recommendations: Moving beyond concept definition, Resources for Teaching Linear Algebra, Carlson, D., Johnson, C., Lay, D., Proter, D., Watkinson A., Watkinson, W. (editors), MAA Notes, 42 (1997), Washington D. C.
8. Harel, G., Sowder, L., Student’s proof schemes: Results from explanatory studies, Researchon Collegiate Mathematics, Schoenfeld, A., Dubinski, E., Kaput, J. (editors), Vol 3, MAA and AMS, Washington D. C., in press.
9. Hiebert, J., Carpenter, T., Learning and teaching with understanding, Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning, Grouse, D. (editor), Mackmillan, New York, 1992.
10 .Kouba, V., Carpenter, T., Swafford, J., Numbers and Operations, Results From the Fourth Mathematics Assesment of the National Assesment of Educational Progress, Lindquist, M. (editor), NCTM, Reston, VA, 1989.
11. Tall, D., Vinner, S., Concept image, concept definition in mathematics with particular reference to limits and continuity, Educational Studies in Mathematics, 12 (1981), 151-169.
12. Wagner, S., Conservation of equation and function under transformations of variable, Journal of Research in Mathematics Education, 12 (1981), 107-11

8.