چکیده
هدف این پژوهش به کارگیری چارچوب «APOS-Slope» (ناگلی و همکاران، ۲۰۱۹) برای بررسی درک دانش‌آموزان و دانشجویان از مفهوم شیب است. این چارچوب ترکیبی از مؤلفه «APOS» دوبینسکی (۲۰۰۱) و یازده مفهوم مرتبط با شیب توصیف‌شده توسط مور روسو، کنر، و راگ (۲۰۱۱) می‌باشد. برای درک بهتر این چارچوب نمونه‌ای در دسترس، شامل ۷۱ نفر از دانش‌آموزان پایه دهم از مدرسه‌ای خاص در شهر بوشهر و ۲۲ نفر از دانشجویان دانشگاه دولتی شهر تهران در نظر گرفته شد که به سؤالات پرسش‌نامه (۴ سؤال) بر اساس چارچوب APOS-Slope پاسخ دهند. روش تحقیق، ترکیبی از روش کتابخانه‌ای و توصیفی ـ پیمایشی می‌باشد. روایی سؤالات توسط دو نفر از استادان آموزش ریاضی و دو استاد ریاضی تأیید شدند. نتایج تحقیق نشان داد که درک دانش‌آموزان از ده مفهوم مرتبط با شیب تا سطح شیء از لحاظ تابع خطی رسید، ولی درک و فهم هیچ‌کدام از دانشجویان به مرحله شیء در تابع دو متغیره در حالت سهبعدی نرسید. اکثر دانشجویان یازده مفهوم شیب را درک کردند. چگونگی درک دانش‌آموزان و دانشجویان از شیب و مراحل مفهوم‌سازی آن با توجه به چارچوب
APOS-Slope، می‌تواند به محققان در پژوهش‌های آینده و به معلمان و استادان در آموزش بهتر مفهوم شیب کمک کند.
مقدمه و پیشینه تحقیق
مفهوم «شیب» یکی از مفاهیم مهم در ریاضیات است که در برنامه درسی ریاضی ایران از سال نهم قرار داده شده است. هدف ما در این مطالعه بررسی درک دانش‌آموزان پایه دهم از مفهوم شیب بر اساس چارچوب «APOS-Slope» (ناگل و همکاران، ۲۰۱۹) بود. مؤلفه APOS از چارچوب پیشنهادشده، شرایط بحث درباره توسعه شناخت درک دانش‌آموزان از شیب را فراهم می‌کند و یازده مفهوم، یک زبان مخصوص شیب را به ارمغان می‌آورند. ترکیب این دو موضوع به ما اجازه می‌دهد تا درک مشاهده‌‌شده دانش‌آموزان را طبقه‌بندی و تعیین کنیم که تا چه حد ابزارهای جامع تحقیق و محتوای کلاس درس، با شیب مرتبط هستند. برای معرفی مؤلفه APOS-Slope، ابتدا مؤلفه APOS را معرفی و سپس یازده مفهوم شیب را ارائه می‌کنیم.
نظریه APOS
این نظریه در واقع اقتباسی از ایده‌های پیاژه برای مطالعه توسعه دانش ریاضی در افراد از طریق مراحلی شامل «عمل، فرایند، شیء و طرح‌واره»۱ (APOS) است. دوبینسکی (۲۰۰۱)، APOS را بر اساس دیدگاه‌های نظری رشدشناختی پیاژه در رابطه با «انتزاع بازتابی» و بازسازی آن در حیطه ریاضیات بنا نهاد. از این نظریه برای مطالعه نحوه ایجاد درک مفهوم درباره انواع موضوع‌های ریاضی استفاده می‌شود [Arnon, etal., ۲۰۱۴] .
عمل: در APOS، هر عمل، تبدیلِ یک مفهوم ریاضی است که فرد آن را به‌عنوان یک مؤلفه خارجی درک می‌کند.
فرایند: هنگامی‌که عملی تکرار می‌شود و شخص روی آن بازتاب می‌کند، ممکن است به‌صورت یک فرایند درونی‌سازی شود. فرایند در حال حاضر به‌عنوان یک مؤلفه داخلی درک می‌شود؛ به این معنی که ارتباط معنی‌داری با دانش ریاضی فرد دارد. این ارتباطات فرد را قادر می‌سازند که تبدیل را تصور برخی از گام‌هایش را حذف و نتایج آن را بدون نیاز به اجرای صریح تبدیل، پیش‌بینی کند.
سطوح انتقال بین عمل و فرایند: به کمک تعیین یا حدس زدن سطوح متفاوت در انتقال از یک عمل به مرحله فرایند، توسعه یک مفهوم ریاضی امکان‌پذیر است. تعداد و مشخصه سطوح انتقال، به مفهوم ریاضی مورد بحث بستگی دارد. به‌طور معمول، آن‌ها را از طریق داده‌های تجربی می‌توان معرفی کرد، اما سطوح انتقال ممکن است هنگام فکر کردن در مورد ساختارهای ذهنی متفاوتی مشخص شود که برای دانش‌آموزان به منظور رسیدن به یک مرحله فرایند توسعه مفهوم ریاضی لازم است.
برای این مقاله، مفهوم ریاضی، شیب است و ما در نظر داریم سطوح انتقال از مرحله عمل به مرحله فرایند را مشخص کنیم. توجه داشته باشید که در APOS، در مورد مراحل «عمل»، «فرایند» و «شیء»، و همچنین، «سطوح بین مراحل» صحبت می‌شود. این با عبارت‌های استفاده‌شده توسط پیاژه سازگار است [پیشین]. یک مرحله نمی‌تواند حذف شود، اما سطح ممکن است چنین نباشد.
شیء: چون محدوده برنامه‌های کاربردی یک فرایند، فراتر از زمینه‌ای است که ابتدا ساخته می‌شود. فرد ممکن است احساس کند به منظور مقابله با موقعیت‌های جدید لازم است عملیات زیادی را در یک فرایند به کار برد. هنگامی‌که فرد قادر به مشاهده فرایند به‌عنوان یک هویت است و می‌تواند به کار بردن عملیات یا یک فرایند را تصور کند، می‌توان گفت که فرایند در قالب یک شیء «فشرده»۲ شده است. در حقیقت، مرحله جدیدی از توسعه بین فرایند و شیء، به نام «کلیت»۳، پیش‌بینی‌شده است که فرد می‌تواند فرایند را به‌صورت یک هویت ببیند، اما هنوز نمی‌تواند عمل یا یک فرایند را تصور کند. برای مثال، در محاسبه جزءصحیح اگر کسی۰ در نظر بگیرد، حد نامتناهی برای آن در سطح کلیت است و اگر ۱ (یک) در نظر بگیرد در سطح شیء است. نمودار ۱، ارتباط بین این مراحل را نشان می‌دهد.
طرح‌واره (schema): مجموعه منسجمی از عمل‌ها، فرایندها، شی‌ء‌ها، و سایر طرح‌واره‌هایی است که با یک مفهوم ریاضی خاص مرتبط هستند. اگرچه ممکن است تصور شود که در نظریه APOS یک پیشرفت خطی از عمل به فرایند و به شیء و سپس داشتن عمل‌ها، فرایندها و اشیای متفاوتی که در طرح‌واره سازمان‌دهی شده‌اند، وجود دارد، این اغلب به نظر می‌رسد شبیه به پیشرفت منطقی است که در آن تبدیلات جزئی، گذرها و بازگشت‌ها از یک نوع مفهوم به نوع دیگر وجود دارد [پیشین]. (طرح‌واره یک اصطلاح در روان‌شناسی است و معادل فارسی آن را انگاره یا طرح عنوان کرده‌اند. شبکه‌ای از اندیشه‌ها و روابط به‌هم پیوسته، یا شبکه‌هایی از مفاهیم که در حافظه افراد وجود دارند و آنان را قادر می‌سازد تا اطلاعات تازه را درک و جذب کنند.)
شیب
به‌طور رسمی شیب به دانش‌آموزان کشور ایران در کلاس نهم ارائه می‌شود. این یکی از نقاط مهم در برنامه درسی ریاضی دبیرستان اکثر کشورهاست. شیب مجدداً در برنامه درسی ریاضی مورد استفاده قرار می‌گیرد و با پیشرفت‌های مهمی در جهت زوایای میل در مثلثات، رگرسیون خطی در آمار، آهنگ تغییر تابعی و تغییر هم‌زمان دو متغیر در حساب دیفرانسیل و انتگرال، مشتقات در حساب دیفرانسیل و انتگرال، و مشتقات جهتی و جزئی در حساب دیفرانسیل چند متغیره [Martinez-Planell, Trigveros and McGee, ۲۰۱۷] توسعه می‌یابد. همچنین کلیدی در فهم سایر رشته‌هاست؛ رشته‌هایی مانند سینماتیک، محدوده‌ای از فیزیک که به شدت به استفاده و تفسیر بازنمایی‌های نموداری متکی است. تحقیقات گذشته یازده شیوه‌ای را که افراد شیب را تعریف می‌کنند، گزارش کرده‌اند (جدول ۱). تمام این مفهوم‌ها در برنامه درسی تا پایه دوازدهم در کشور ایران نیز پوشش داده شده است.
چارچوب APOS-Slope
ناگل و همکارانش (۲۰۱۹) استدلال می‌کنند که مفهوم شیب به کمک رابطه بین نسبت هندسی (G)، نسبت جبری (A) و خاصیت تابعی (F) ایجاد می‌شود تا زمانی که ثابت خطی (L) شکل گیرد و شیء شیب نشان داده شود. این چهار مفهوم (F ،A ،G و L) به‌عنوان روش‌های فکر کردن در مورد شیب مطرح هستند.
البته هفت مفهوم دیگر پیشنهادشده را نیز به این شرح (نگاه کنید به جدول ۲) در نظر خواهیم داشت: ضریب پارامتری (PC)، شاخص رفتاری (B)، خاصیت فیزیکی (P)، خاصیت تعیین‌کننده (D)، موقعیت دنیای واقعی (R) و مفهوم مثلثاتی (T) و مفهوم حساب دیفرانسیل (C).
روش تحقیق و یافته‌ها
روش تحقیق در این مطالعه توصیفی از نوع پیمایشی بود که ۷۱ نفر از دانش‌آموزان مدرسه‌ای خاص و ۲۲ دانشجوی یک دانشگاه دولتی مورد بررسی قرار گرفتند. سؤالات تحقیق و چند نمونه پاسخ در پیوست آمده‌اند.
روش‌های تفکر در مورد شیب و APOS: ابتدا مفهوم ذکرشده در ردیف‌های نمودار ۲ را در نظر می‌گیریم. مفهوم مرتبط با روش‌های تفکر درباره شیب به‌عنوان یک عمل، فرایند یا شیء هستند: نسبت جبری (A)، نسبت هندسی (G)، خاصیت تابعی (F) و ثابت خطی (L). در این مطالعه به دنبال پاسخ این سؤال هستیم که «چگونه شیب را بر مبنای APOS می‌توان مفهوم‌سازی و تحلیل کرد؟» جدول ۲ این مراحل را به همراه درصد دانش‌آموزانی که در این سطوح قرار داشتند، نشان می‌دهد. دانشجویان همگی سؤالات ۱ و ۲ را پاسخ دادند، ولی سؤال ۳ را ۴۰ درصد پاسخ دادند و سؤال ۴ را هیچ‌کس پاسخ نداد.
نتایج پژوهش و پیشنهادها
در این مطالعه، از نظریه APOS به‌عنوان لنزی استفاده کردیم تا با در نظر گرفتن یازده مفهوم شیب، بینش بیشتری در مورد یافته‌های مربوط به نحوه درک از شیب ایجاد کنیم. نتایج نشان می‌دهند که دانش‌آموزان به مرحله شیء از شیب در حد تابع خطی رسیدند (ده مفهوم)، ولی در بیان تفسیر کاربرد واقعی آن اغلب آن‌ها ضعف داشتند. در سایر مفهوم مشکل چندانی مشاهده نشد. به‌نظر می‌رسد کتاب‌های درسی در ایران به خوبی مفهوم شیب را ارائه کرده‌اند. دانشجویان برای درک یازده مفهوم شیب در حد تابع خطی تا مرحله شیء مشکلی نداشتند، ولی در زمینه درک سهبعدی شیب مشکلات بسیاری داشتند؛ به‌طوری که شاید حتی چنین مسائلی ندیده بودند. درک دانشجویان از شیب در حالت سهبعدی در مرحله کلیت قرار داشت.
این پژوهش می‌تواند به محققان، معلمان و استادان کمک کند تا چگونگی مفهوم‌سازی شیب را تحلیل کنند؛ همچنین می‌توانند برای آموزش در کلاس درس نیز از آن استفاده کنند. این چارچوب بینش بیشتری در مورد یافته‌های اخیر نیوتن (۲۰۱۸)، مبنی بر اینکه مشکلات معلمان در استفاده از شیب به‌عنوان یک معیار (خاصیت فیزیکی)، با ضعف در توصیف آهنگ تغییر (خاصیت تابعی) همراه است و معلمان را به حداکثر یک سطح انتقال از استدلال شیب محدود می‌کند فراهم کند. این یافته‌ها به آن‌ها کمک می‌کند به دقت تشخیص دهند فرد در کدام مرحله از درک شیب قرار دارد یا در طراحی مواد آموزشی، تدوین مجدد ایده‌های آموزشی درباره شیب را برای حرکت به سمت مراحل پیشرفته تسهیل کنند.
الف) نمونه پاسخ
پی‌نوشت‌ها
1. Action, Process, Object and Schema 2. encapsulated 3.Totality 4. steepness 5. slant 6. grade 7. pitch 8. Inclination
منابع
1. Arnon, I., Cottrill, J., Dubinsky, E., Oktaç, A., Roa Fuentes, S., Trigueros, M., et al. (2014). APOS Theory: A framework for research and curriculum development in mathematics education. New York: Springer Verlag.
2. Dubinsky, E., & McDonald, M. A. (2001). APOS: A constructivist theory of learning in undergraduate mathematics education research: An ICMI study. In D. Holton (Ed.). The teaching and learning of mathematics at university level (pp. 275–282). Dordrecht: Springer.
3. Martínez-Planell, R., Trigueros, M., & McGee, D. (2017). Studentsí understanding of the relation between tangent plane and directional derivatives of functions of two variables. The Journal of Mathematical Behavior, Vol. 46, 13–41.
4. Moore, K. C., & Thompson, P. W. (2015). Shape thinking and students’ graphing activity. In T. Fukawa-Connelly, N. E. Infante, K. Keene, & M. Zandieh (Eds.).
5. Moore-Russo, D., Conner, A., & Rugg, K. I. (2011). Can slope be negative in 3-space? Studying concept image of slope through collective definition construction.Educational Studies in Mathematics, 76(1), 3–21.
6. Nagle, C., Martínez-Planell, R., & Moore-Russo, D. (2019). Using APOS theory as a framework for considering slope understanding. The Journal of Mathematical Behavior.C. Reid (2006), from zero to infinity what makes number intresting, Ak peters, Ltd, wellesley, Massachusetts.
7. Newton, X. A. (2018). Undergraduate stem majors’ understanding of slope. Improving teacher knowledge in K-12 schooling. Cham, Switzerland: Palgrave Macmillan75–100