دو مسئله ویژه از حرکت پرتابی

چکیده
از جمله حرکت‌ها با شتاب ثابت، حرکت ایده‌آل پرتابه‌ها در اثر نیروی گرانش در غیاب مقاومت هوا می‌باشد. مسائل متنوع بی‌شماری برای حرکت پرتابی قابل طرح است که بعضی از آن‌ها از فرط تکرار، در بایگانی حافظه ضبط شده‌اند. در این نوشتار، دو مثال جالب (و البته کمتر تکراری) مورد آنالیز دقیق واقع می‌شوند. مسئله اول «بیشینه برد پرتابه را هنگام پرتاب از فراز یک بلندی» بررسی می‌کند. انتظار داریم در حالت خاص، این مسئله به همان مسئله معروف، بیشینه برد پرتابه زمین‌ـ به‌ـ زمین، منتهی گردد. مسئله دوم، حالتی را می‌کاود، که در پرتاب زمین به زمین، «در کل مسیر حرکت، فاصله پرتابه تا مبدأ پرتاب در حال ازدیاد باشد.»

مسئله اول: در شکل زیر گلوله (در شرایطی که مقاومت هوا وجود ندارد) از ارتفاع ثابت h پرتاب می‌شود. زاویه پرتابی θ چقدر باشد تا برد افقی R بیشینه گردد؟

این مسئله یادآور مسئله معروف بیشینه برد پرتابی در پرتاب زمین به زمین است. در آن برد پرتابه به ازای θ=45° بیشینه می‌شود و برای بیشینه برد داریم:

ولی مسئله حاضر با آن مسئله کمی تفاوت دارد. درواقع سؤال بالا درست طرح نشده است. هنگام پرتاب از ارتفاع ثابت h، بیشینه R، هم وابسته به v0 و هم وابسته به θ است. درواقع سؤال درست چنین است:

1. به ازای تندی اولیه v0، بیشینه برد چقدر است؟

2. این بیشینه برد به ازای چه زاویه θ رخ می‌دهد؟

در شکل زیر مبدأ مختصات را همان نقطه پرتاب گرفته‌ایم. معادلات حرکت عبارتند از: