سرگرمی‌های عددی؛ خاطره‌ای از یک ریاضی‌دان

شما عزیزان حتماً در سال‌های اول تحصیل، یا حتی قبل از رفتن به مدرسه، شمارش روی انگشتان خود را تجربه کرده‌اید. دو دست روی هم 10 انگشت دارند که در کودکی بارها از آن‌ها برای شمردن استفاده کرده‌ایم. هر یک از انگشتان دست نامی دارند؛ به شکل 1 توجه کنید.

بیشتر بچه‌ها وقتی می‌خواهند روی انگشتانشان بشمارند، دو دست خود را باز می‌کنند و کف دست‌ها را به طرف صورتشان می‌گیرند (مانند شکل 2). سپس از انگشت شست دست راست یا چپ شروع به شمارش می‌کنند. در شکل 2 شمارش از دست چپ آغاز شده است.

بعد از عدد 10، عدد 11 روی انگشت شست دست چپ شمرده می‌شود. درواقع دور دوم شمارش شروع می‌شود. عدد 12 روی انگشت اشاره دست چپ شمرده می‌شود. بقیه را در جدول 1 کامل کنید:

بنابراین در این نوع شمارش، با اتمام دور اول، دور دوم از انگشت شست دست چپ شروع می‌شود و عدد 11 و 1 روی یک انگشت شمرده می‌شوند. راستی! شباهت این دو عدد در چیست؟ بله! باقی‌مانده تقسیم هر دو بر 10 برابر یک است. بنابراین عددهای 31، 41 و 51 هم روی همین انگشت شمرده می‌شوند. درواقع تمام عددهایی که باقی‌مانده تقسیم آن‌ها بر 10 مساوی یک است، در این نوع شمارش روی انگشت شست دست چپ می‌افتند. مشخص است که عدد 12 هم مانند 2 روی انگشت اشاره دست چپ شمرده می‌شود.

از آنجا که باقی‌مانده تقسیم هر عدد طبیعی بر 10 یکی از عددهای 0، 1، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8 یا 9 است، بنابراین در این نوع شمارش که در شکل (2) به تصویر کشیده شده و دور اول آن نشان داده شده است، عددهایی که در تقسیم بر 10 باقی‌مانده یکسانی دارند، روی یک انگشت می‌افتند. نگران تعیین باقی‌مانده تقسیم عددها بر 10 هم نباشید، زیرا رقم یکان هر عدد برابر باقی‌مانده تقسیم آن عدد بر 10 است. برای مثال، باقی‌مانده تقسیم عدد 3257 بر 10 مساوی هفت است. حالا به جدول 2 توجه کنید:

به‌راحتی می‌توان گفت که مثلاً عدد 287 روی انگشت انگشتری دست راست می‌افتد، یا 3243 روی انگشت میانی دست چپ شمرده می‌شود. راستی عدد 1399 روی کدام انگشت می‌افتد؟ 1400 چطور؟

مطالبی که تا اینجا خواندید، مقدمه‌ای بود برای تعریف یک خاطره، خاطره‌ای از یک ریاضی‌دان که به شرح زیر است:

«تعطیلات سال نوی میلادی 1962 بود. دختر کوچکم را دیدم که به طرز عجیب و غریبی با انگشتان دست چپ خود شمارش می‌کرد. او این‌گونه می‌شمرد: انگشت شست را یک می‌شمرد؛ عدد دو را روی انگشت اشاره می‌شمرد، 3 را روی انگشت میانی و 4 را روی انگشت انگشتری می‌شمرد. 5 را هم روی انگشت کوچک. سپس به‌طور معکوس بر می‌گشت و عدد 6 را روی انگشت انگشتری، بعد عدد 7 را روی انگشت میانی و عدد 8 را روی انگشت اشاره می‌شمرد (شکل 3). به این صورت یک دور تمام می‌شد و دوباره به انگشت شست می‌رسید که شمارش را از آن شروع کرده بود.

دوباره شروع می‌کرد و عدد 9 را روی انگشت شست، عدد 10 را روی اشاره، 11 را روی میانی و به همین صورت ادامه می‌داد و با همین روش عجیب پیش می‌رفت تا اینکه عدد 20 را روی انگشت انگشتری شمرد. در این لحظه از او پرسیدم:‌ «دخترم چه کاری داری می‌کنی؟»

دخترم به پایش زد و گفت: «پدر جان! شما باعث شدید من فراموش کنم روی کدام انگشتم بودم. مجبورم دوباره شروع کنم. می‌خواستم آن‌قدر به شمردن ادامه دهم تا ببینم عدد 1962 روی کدام انگشت می‌افتد؟»

من لحظه‌ای چشمانم را بستم و محاسبات ساده‌ای را انجام دادم و به دخترم گفتم: «عدد 1962 را روی انگشت ـــــ خواهی شمرد.»

دخترم شمارش را ادامه داد و وقتی به عدد 1962 رسید، متوجه شد که ادعای من درست است. او تازه به قدرت ریاضی پی برده بود و از آن لذت می‌برد. او به من گفت که تصمیم گرفته است، به درس ریاضی اهمیت بیشتری بدهد و تکالیف ریاضی‌اش را به‌طور جدی پیگیری کند.»

ریاضی‌دان در متن خاطره به دخترش گفت که عدد 1962 روی کدام انگشت شمرده می‌شود، ولی من جای خالی گذاشتم تا با هم به جواب برسیم. ابتدا شکل 3 را ببینید.

بچه‌ها! شمارشی که دختربچه ریاضی‌دان در این خاطره انجام می‌داده است، با شمارش شکل 2 که در آن از دو دست استفاده می‌شود، فرق دارد و خیلی عجیب و غریب است. ولی اگر توضیحات مربوط به شمارش شکل 2 را خوب مطالعه کرده باشید، خواهید توانست به پرسش دختربچه جواب بدهید.

شمارش از انگشت شست شروع می‌شود: شست 1، اشاره 2، میانی 3، انگشتری 4، کوچک 5 و سپس در مسیر برگشت: انگشتری 6، میانی 7 و اشاره 8. خب! این یک دور کامل می‌شود، چون عدد بعدی (یعنی 9) روی شست شمرده خواهد شد؛ یعنی همان انگشتی که شمارش از آن شروع شده بود. بنابراین یک دور کامل در این نوع شمارش، شامل شمارش از 1 تا 8 می‌شود. حالا جدول 3 را کامل می‌کنیم:

به این موضوع دقت کنید که 1 و 9 روی یک انگشت شمرده می‌شوند. شباهت 1 و 9 چیست؟ شاید متوجه شدن آن کمی سخت باشد، پس بگذارید به 2 و 10 هم اشاره کنم که هر دو روی انگشت اشاره می‌افتند. شباهت 2 و 10 چیست؟ شباهت 3 و 11 چیست که هر دو روی میانی می‌افتند؟ اگر هنوز متوجه نشده‌اید، توضیحات شمارش به روش شکل 2 را به‌خاطر بیاورید. آنجا باقی‌مانده‌ها مهم بودند؛ باقی‌مانده‌های تقسیم بر 10. ولی اینجا به جای 10 عدد 8 باید گذاشته شود. می‌دانید چرا؟ چون اینجا یک دور کامل 8 تایی است، ولی آنجا یک دور کامل 10 تایی بود. پس شباهت 1 و 9 در این است که باقی‌مانده تقسیم هر دو بر 8 مساوی یک است. شباهت 2 و 10 این است که باقی‌مانده هر دو بر 8 برابر دو است. حالا شما پاسخ دهید:

شباهت 4، 12، 14 و 20 در چیست که هر چهار تا روی انگشت انگشتری شمرده می‌شوند؟

برای پاسخ دادن به این پرسش باید به سراغ شکل 3 برویم. در یک دور کامل روی سه انگشت، یعنی اشاره، میانی و انگشتری، دو تا عدد نوشته شده است و این یعنی:

- عددهایی که باقی‌مانده تقسیم آن‌ها بر 8 برابر 2 یا صفر باشد، روی انگشت اشاره می‌افتند.

- عددهایی که باقی‌مانده تقسیم آن‌ها بر 8 برابر 3 یا 7 باشد، روی انگشت میانی می‌افتند.

- عددهایی که باقی‌مانده تقسیم آن‌ها بر 8 برابر 4 یا 6 باشد، روی انگشت انگشتری می‌افتند.

می‌دانیم باقی‌مانده تقسیم هر عدد طبیعی بر 8 یکی از عددهای 0، 1، 2، 3، 4، 5، 6 یا 7 است، پس برای انگشتانی که روی آن‌ها تنها یک عدد نوشته شده است، می‌توانیم بگوییم:

- عددهایی که باقی‌مانده تقسیم آن‌ها بر 8 برابر 1 باشد، روی انگشت شست می‌افتند.

- عددهایی که باقی‌مانده تقسیم آن‌ها بر 8 برابر 5 باشد، روی انگشت کوچک می‌افتند.

حالا می‌توانیم به پرسش بالا جواب بدهیم. باقی‌مانده‌های تقسیم عددهای 4، 12، 14 و 20 بر 8 به‌ترتیب برابر 4، 4، 6 و 4 هستند، پس همگی روی انگشت انگشتری می‌افتند.

حالا چند مثال می‌آورم تا باعث تمرین بیشتری شود:

1. دختربچه با این نوع شمارش، عدد 83 را روی کدام انگشت دست چپ خود می‌شمارد؟

پاسخ: چون باقی‌مانده تقسیم 83 بر 8 برابر 3 است، پس پاسخ انگشت میانی است.

2. عدد 225 با این نوع شمارش روی کدام انگشت می‌افتد؟

پاسخ: باید 225 را بر 8 تقسیم کنیم.

باقی‌مانده برابر یک است، پس عدد 225 روی انگشت شست می‌افتد.

حالا به سراغ پرسش اصلی، یعنی عدد 1962 می‌رویم. باید آن را بر 8 تقسیم کنیم، ولی دست نگه دارید! می‌خواهم روشی را یادتان بدهم که در عددهایی که تعداد رقم‌هایشان زیاد است، کار تقسیم شما راحت‌تر شود، به قاعده زیر خوب توجه کنید:

قاعده بخش‌پذیری بر 8

عددی بر 8 بخش‌پذیر است که عدد حاصل از سه رقم انتهایی‌اش بر 8 بخش‌پذیر باشد.

قاعده مشخص کردن باقی‌مانده تقسیم بر 8

باقی‌مانده تقسیم یک عدد که تعداد رقم‌هایش بیشتر از 3 است بر 8، برابر است با باقی‌مانده تقسیم عدد حاصل از سه رقم انتهایی‌اش.

این قاعده‌ها کار ما را آسان می‌کنند. می‌خواهم از شما بپرسم که مثلاً تقسیم یک عدد هفت‌رقمی یا شش‌رقمی یا پنج‌رقمی یا چهاررقمی بر 8 راحت‌تر است، یا یک عدد سه‌رقمی؟ معلوم است که عدد سه‌رقمی. خب به سراغ 1962 می‌رویم. برای اینکه بفهمیم باقی‌مانده تقسیم 1962 بر 8 چقدر می‌شود، کافی است باقی‌مانده 962 (عدد حاصل از سه رقم انتهایی 1962) بر 8 را پیدا کنیم.

باقی‌مانده برابر 2 شد، پس دختربچه عدد 1962 را روی انگشت اشاره خود خواهد شمرد.

تمرین

1. عدد مربوط به امسال یعنی 1399 که در روزهای پایانی آن هستیم، با این روش شمارش روی کدام انگشت می‌افتد؟ عدد سال جدید یعنی 1400 چطور؟

2. آیا عدد 326524147 بر 8 بخش‌پذیر است؟ مراقب باشید! وقت خود را به هدر ندهید. کافی است 147 را بر 8 تقسیم کنید.

3. باقی‌مانده تقسیم 876401279 را بر 8 پیدا کنید.