مقدمه
عموماً ریاضیاتی که دانش‌آموزان دبیرستان با آن سروکار دارند، ریاضیات محاسباتی است و ریاضیاتی که دانشجویان دوره کارشناسی با آن روبه‌رو هستند، به‌طور معمول از نوع حل مسئله است. هرچند برخی از دانش‌آموزان دبیرستان، به‌خصوص به بهانه المپیاد، به این سطح خواهند رسید. در دوره‌های بالاتر، مثل کارشناسی ارشد و دکترا، انجام ریاضیات عموماً به‌صورت اثبات قضیه ظاهر می‌شود و در دوره‌های بالاتر، ریاضی‌دانان مشهور کم‌کم شروع به تئوری‌پردازی و گسترش تئوری خود می‌کنند.
ریاضی‌دانان کمی بوده‌اند که قبل از رسیدن به دوره پیش از دانشگاه (زیر 20 سال) موفق به تئوری‌پردازی شده‌اند. ریاضی‌دانان بزرگی همچون گاوس و نیوتون نتوانستند به چنین سطحی برسند. حتی برخی ریاضی‌دانان مشهور هم‌عصر ما، با وجود گرفتن دکترا پیش از 20 سالگی، همچنان به پختگی لازم برای تئوری‌پردازی نرسیده‌اند. آبل و گالوا دو ریاضی‌دان هستند که با وجود اینکه هر دو توانسته‌اند جواب یک سؤال مشترک را بدهند، با این حال تفاوت زیادی در کار این دو دیده می‌شود. گالوا توانست از دل این راه‌حل، قضیه‌ها و مسئله‌هایی بیرون بکشد که به تئوری جدیدی منجر شد. درحالی‌که آبل با وجود برخورد با ریاضیات مشابه نتوانست این تئوری را بیرون بکشد.
در این مقاله تأکید داریم که مهارت‌های تئوری‌پردازی قابل‌آموزش‌اند. کوین‌فو، دانش‌آموز چینی ـ آمریکایی که در سطح دبیرستان موفق به تئوری‌پردازی شده است، در مورد امکان تئوری‌پردازی در سطح ریاضیات مدرسه‌ای به ما نوید می‌دهد. او مثلث‌های حدی در صفحه اقلیدسی دوبعدی و نتایجی از آن‌ها را در قضایایی مهم از هندسه اقلیدسی در نظر گرفته است. خیلی از این حالات حدی بر قضایای بدیهی یا استاندارد متمرکز هستند. اما به ویژه، در مورد یک حالت حدی از «قضیه مورلی» بحث شده است که به نظر مهم و جدید می‌رسد. هدف دیگر او نگاهی به وضعیت قضایایی برای هرم‌های حدی در فضای اقلیدسی سه‌بعدی است. در اینجا متن مقاله او آمده است و نکاتی درباره آموزش تئوری‌پردازی به آن اضافه شده است.
قضیه مورلی در حالت حدی کوین فو
قضیه مورلی بیان می‌کند که وصل کردن تثلیث‌گرهای زاویه‌های مجاور در یک مثلث، به سه نقطه منجر می‌شود که تشکیل یک مثلث متساوی‌الاضلاع را می‌دهند. این مسئله برای تمام مثلث‌ها در صفحه دکارتی دوبعدی درست است. با وجود این، قضیه مورلی برای مثلث‌های حدی نیز برقرار است. این حالت از اثبات حالت مثلث معمولی نتیجه نمی‌شود و نیازمند اثباتی جدید است. هدف این پروژه، اثبات نسخه حدی قضیه مورلی و چند حالت حدی دیگر از نتایج مشهور هندسه اقلیدسی، مثل مشابه‌سازی دایره نه نقطه و حالت‌های حدی جدیدی است که ما باید برای مشابه‌سازی درست مفهوم دایره محیطی بیابیم. علاوه بر آن می‌توان این حالت‌ها را برای چهاروجهی به چهاروجهی‌های حدی نیز انجام داد که به‌علت طولانی شدن مقاله بیان نکرده‌ایم.
حالت فضای دوبعدی اقلیدسی از طریق مطالعه مثلث‌های حدی و دایره‌هایی که بعضی از آن‌ها به بی‌نهایت منتقل می‌شوند، بررسی می‌شود و کاربرد آن‌ها در برخی قضیه‌های مشهور را خواهیم دید. یک مثال مهم در این باب قضیه مورلی است که در چندین حالت حدی دوبعدی اثبات شده است. استفاده از تصویر پیچیدگی حالت‌های حدی جدید را کم و در برخی موارد اثبات آن‌ها را تأیید می‌کند. نتایج تمام موارد جدید حدی به‌دست آمده است، خواه در صفحه دوبعدی اقلیدس و خواه در فضای سه‌بعدی اقلیدس باشد. در مجموع، این نتایج برای تحقیقات آینده ریاضی حول قضایای مطرح‌شده اهمیت دارند، زیرا کاربرد چنین قضیه‌هایی در شبیه‌سازی‌ها بسیار پیچیده‌تر در هندسه، فرصت‌هایی برای استفاده از این قضیه‌ها در سناریوهای بسیار پیچیده‌تر فراهم می‌کند و روش بردن یک شیء به بی‌نهایت می‌تواند در جنبه‌های متفاوتی از هندسه به‌کار برده شود.
همراهان گرامی رشد ریاضی، برای مشاهده متن کامل این مقاله بر روی فایل PDF پایین همین صفحه کلیک کنید.